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No67、剪绳子

牛客网原题链接

题目描述

给你一根长度为n的绳子，请把绳子剪成整数长的m段（m、n都是整数，n>1并且m>1），每段绳子的长度记为k[1],...,k[m]。请问k[1]x...xk[m]可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。

输入描述:

Text Only
1
输入一个数n，意义见题面。（2 <= n <= 60）

输出描述:

Text Only
1
输出答案。

示例1

输入

Text Only
1
8

输出

Text Only
1
18

1、很厉害的一种思路

题目分析：

  • 先举几个例子，可以看出规律来。
  • 4 ： 2*2
  • 5 ： 2*3
  • 6 ： 3*3
  • 7 ： 2*2*3 或者4*3
  • 8 ： 2*3*3
  • 9 ： 3*3*3
  • 10：2*2*3*3 或者4*3*3
  • 11：2*3*3*3
  • 12：3*3*3*3
  • 13：2*2*3*3*3 或者4*3*3*3

下面是分析： * 首先判断k[0]到k[m]可能有哪些数字，实际上只可能是2或者3。 * 当然也可能有4，但是4=22，我们就简单些不考虑了。 * 5<23,6<33,比6更大的数字我们就更不用考虑了，肯定要继续分。 * 其次看2和3的数量，2的数量肯定小于3个，为什么呢？因为222<33，那么题目就简单了。 * 直接用n除以3，根据得到的余数判断是一个2还是两个2还是没有2就行了。 * 由于题目规定m>1，所以2只能是11，3只能是21，这两个特殊情况直接返回就行了。 * 乘方运算的复杂度为：O(log n)，用动态规划来做会耗时比较多。

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int cutRope(int number) {

    if (number == 2) {
        return 1;
    }
    if (number == 3) {
        return 2;
    }
    int x = number % 3, y = number / 3;
    if (x == 0) {
        return pow(3, y);
    }
    else if (x == 1) {
        return 2 * 2 * pow(3, y - 1);
    }
    else 
        return 2 * pow(3, y);

}

1-1、力扣上的一种讲解

执行用时：0 ms, 在所有 C++ 提交中击败了100.00%的用户

内存消耗：6 MB, 在所有 C++ 提交中击败了100.00%的用户

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int cuttingRope(int n) {

    if(n<2) return 0;
    if(n<4) return n-1;
    int maxNum=1;
    while(n>4){
        maxNum*=3;
        n-=3;
    }
    maxNum*=n;
    return maxNum;
}

2、一种DP讲解方法

讲解视频：

https://www.bilibili.com/video/BV18E411T7dU?from=search&seid=16580267998265505121

C++
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int cutRope(int number) {
    if (number == 2 || number == 3)
        return number - 1;
    vector<int> ans(number + 1,0);
    ans[0] = 1;
    ans[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= number; ++i)
    {
        ans[i] = i - 1;//分为2 段 1 * （i-1）
        for (int j = 2; j < i; ++j)
        {
            ans[i] = max(ans[i], j * ans[i - j]); //一种是继续分割的情况
            ans[i] = max(ans[i], j * (i-j));//不在分割 就割成两段
        }
    }
    return ans[number];
}

3、这种DP更容易懂一些

讲解视频：https://www.bilibili.com/video/BV1C7411V7s6?from=search&seid=16580267998265505121

执行用时：0 ms, 在所有 C++ 提交中击败了100.00%的用户

内存消耗：6 MB, 在所有 C++ 提交中击败了100.00%的用户

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int cutRope(int number) {
    if (number < 2) return -1;
    if (number == 2 || number == 3)
        return number - 1;
    vector<int> ans(number + 1,0);
    int maxNum = -1;
    ans[1] = 1;
    ans[2] = 2;
    ans[3] = 3;//因为长度》=4，他们不需要拆，拆了反而会变小，对于小于4的情况我们直接开头处理
    for (int i = 4; i <= number; ++i)
    {
        for (int j = 1; j <= i/2; ++j)
        {
            maxNum = max(maxNum, ans[j] * ans[i - j]);
            ans[i] = maxNum;

        }

    }
    return ans[number];
}

j<=i/2 是因为 f(5) = f(1)f(4) f(5) = f(2)*f(3) f(5) = f(3)**f(2)

f(5) = f(4)*f(1) ,可以看到走到后面去了有回来了，所以走一半即可，但一定要走到一半才行，不能小于i/2，必须是小于等于

二刷：

运行时间：3ms 占用内存：508k

C++
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int cutRope(int number) {
    if(number <=3 ) return number - 1;
    vector<int> dp(number+1,0);
    dp[0] = 1;
    dp[1] = 1;
    dp[2] = 2;
    dp[3] = 3;
    int maxNum = -1;
    for(int i = 4; i<= number; ++i){
        for(int j = 1; j <= i/2; ++j){
            maxNum = max(maxNum,dp[j] * dp[i-j]);
            dp[i] = maxNum;
        }
    }

    return dp[number];
}

剪绳子-2（力扣54题）

给你一根长度为 n 的绳子，请把绳子剪成整数长度的 m 段（m、n都是整数，n>1并且m>1），每段绳子的长度记为 k[0],k[1]...k[m] 。

请问 k[0]*k[1]*...*k[m] 可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。

答案需要取模 1e9+7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，请返回 1。

示例 1：

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输入: 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1
示例 2:

输入: 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36


提示：

2 <= n <= 1000

1、DP会溢出，只能用上述规律这一种方法来做了

执行用时：0 ms, 在所有 C++ 提交中击败了100.00%的用户

内存消耗：6.2 MB, 在所有 C++ 提交中击败了100.00%的用户

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int cuttingRope(int n) {

    if(n<2) return 0;
    if(n<4) return n-1;
    long maxNum=1,mod = 1000000007;
    while(n>4){
        maxNum*=3;
        maxNum %=mod;
        n-=3;
    }
    maxNum*=n;
    maxNum %=mod;
    return maxNum;
    }